Lógica Matemática
Adaptado de Paulo Marques - Feira de Santana
- BA
(Site do
Autor com outros temas matemáticos)
1 - INTRODUÇÃO
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser
considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo
da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de
George Boole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que
utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e
suas inter-relações.
As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação
estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças
declarativas também conhecidas como proposições , as quais devem
satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:
Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser
verdadeira ou falsa , não havendo outra alternativa.
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo
tempo verdadeira e falsa.
Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V
(verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). Os
valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições
falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ).
As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t,
u, ...
De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito"
, "3 + 5" , "x é um número real" , "x + 2 = 7", etc., não são proposições
lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido
(verdadeiro ou falso).
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de
cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.
p: " a soma dos ângulos internos de um triângulo
é igual a 180º " ( V )
q: " 3 + 5 = 2 " ( F )
r: " 7 + 5 = 12" ( V)
s: " a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si
= (n - 2) . 180º " ( V )
t: " O Sol é um planeta" ( F )
w: " Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F )
2 - Símbolos utilizados na Lógica Matemática
~
|
não |
Ù
|
e |
Ú
|
ou |
®
|
se ... então |
«
|
se e somente se |
|
|
tal que |
Þ
|
implica |
Û
|
equivalente |
$
|
existe |
$
|
|
existe um e somente um |
"
|
qualquer que seja |
3 - O Modificador Negação
Dada a proposição p , indicaremos a sua
negação por ~p . (Lê-se " não p " ).
Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V )
~p: Três pontos não determinam um único plano ( F )
Obs.: duas negações eqüivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos:
~(~p) = p .
4 - Operações lógicas
As proposições lógicas podem ser combinadas
através dos operadores lógicos Ù
, Ú ,
® e
« , dando
origem ao que conhecemos como proposições compostas . Assim , sendo p e q
duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições
compostas: pÙ
q , pÚ q
, p® q ,
p« q (Os
significados dos símbolos estão indicados na tabela anterior).
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a
seguir.
Conjunção: pÙ
q (lê-se "p e q " ).
Disjunção: pÚ
q (lê-se "p ou q ") .
Condicional: p®
q (lê-se "se p então q " ).
Bi-condicional: p«
q ( "p se e somente se q") .
Conhecendo-se os valores lógicos de duas
proposições simples p e q , como determinaremos os valores lógicos das
proposições compostas acima? Ah! caro vestibulando! Isto é conseguido através do
uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA
VERDADE.
Sejam p e q duas proposições simples, cujos
valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1 quando verdadeira
(V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada:
p |
q |
p
Ù
q |
p
Ú
q |
p®
q |
p
«
q |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:
- a conjunção é verdadeira somente quando ambas
as proposições são verdadeiras.
- a disjunção é falsa somente quando ambas as
proposições são falsas.
- a condicional é falsa somente quando a
primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa.
- a bi-condicional é verdadeira somente quando
as proposições possuem valores lógicos iguais.
Ex.: Dadas as proposições simples:
p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0)
q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1)
Temos:
pÙ q tem
valor lógico F (ou 0)
pÚ q tem
valor lógico V (ou 1)
p® q tem
valor lógico V (ou 1)
p« q tem
valor lógico F (ou 0).
Assim, a proposição composta "Se o Sol não é uma
estrela então 3 + 5 = 8" é logicamente verdadeira, não obstante ao aspecto quase
absurdo do contexto da frase!
Não quero lhe assustar, mas o fato das
proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0), não podem
estar associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuito elétrico
desligado e um (1) pode significar um circuito elétrico ligado? Isto lembra
alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, caros amigos, isto é uma
verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores!
Seria demais imaginar que a proposição pÙ
q pode ser associada a um circuito série e a proposição pÚ
q a um circuito em paralelo?
Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que mudaram o mundo!
Vimos no texto anterior, a tabela verdade -
reproduzida abaixo - que permite determinar o valor lógico de uma proposição
composta, conhecendo-se os valores lógicos das proposições simples que a
compõem.
p |
q |
pÙ
q |
pÚ
q |
p®
q |
p«
q |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou V
valor lógico falso = 0 ou F
Podemos observar que é muito fácil entender (e o
nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima para a conjunção,
disjunção e equivalência, ou seja:
a conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras.
A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas.
A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos.
Quanto à condicional "se p então q" , vamos
analisá-la separadamente, de modo a facilitar o entendimento das regras ali
contidas:
p |
q |
p®
q |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
V |
F |
F |
V |
O raciocínio a seguir, será a base da nossa
análise:
Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos
conduza a outra proposição q, consideraremos que p®
q é verdadeira.
Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima:
1º) p é V e q é V: somente através de um
raciocínio válido é possível partir de uma proposição verdadeira para outra
também verdadeira. Logo, p®
q é verdadeira.
2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido
capaz de , partindo-se de uma proposição verdadeira chegar-se a uma proposição
falsa. Logo, neste caso, p®
q é falsa.
3º) p é F e q é V: É possível partir de uma
proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição
verdadeira. Isto é um pouco difícil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo:
Sejam as proposições:
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 15 = 15 (valor lógico V)
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p
(falsa), chegar a q(verdadeira). Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que
5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5 = 5+10 e portanto 15
= 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um raciocínio válido
chegar-se a q VERDADEIRA. Logo, p®
q é verdadeira
4º) p é F e q é F: É possível partir de uma
proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma proposição
também falsa. Senão vejamos:
Sejam as proposições:
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 19 = 9 (valor lógico F)
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar
que é possível a partir de p FALSA, chegarmos a q também FALSA. Com efeito, se
10 = 5, então, subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4. Somando
agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 =
9, que é a proposição q dada. Logo, p®
q é verdadeira (V).
Exercícios:
1) Sendo p uma proposição verdadeira e q uma
proposição falsa, qual o valor lógico da
proposição composta r: (pÙ
~ q)
® q ?
Solução: Teremos,
substituindo os valores lógicos dados: p = V , q = F e ~q = V .
r: (V Ù
V) ® F ,
logo, pelas tabelas acima vem: r: V ®
F e portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0.
2) Qual das afirmações abaixo é falsa?
a) se Marte é um planeta então 3 = 7 - 4.
b)
a soma de dois números pares é um número par e 72
= 49.
c)
3 = 5 se e somente se o urso é um animal
invertebrado.
d)
se 102 = 100 então todo número inteiro é
natural.
e)
2 = 32 - 7 ou a Terra é plana.
Analisando os valores lógicos das proposições
simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores, concluiremos que apenas a
proposição do item (d) é falsa, uma vez que 102 = 100 é V e "todo
número inteiro é natural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, mas
não é natural) . Portanto, temos V ®
F , que sabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima).
Resumo da Teoria
1 - Tautologias e Contradições
Considere a proposição composta s: (pÙ
q) ® (pÚ
q) onde p e q são proposições simples
lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s :
Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos:
p |
q |
pÙ
q |
pÚ
q |
(pÙ
q) ®
(pÚ
q) |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
V |
V |
F |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
F |
F |
V |
Observe que quaisquer que sejam os valores
lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre
logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.
Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um
planeta
(valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso -
F), podemos concluir que a proposição composta "Se
o Sol é um planeta e
a Terra é um planeta plano
então o Sol é um planeta
ou
a Terra é um planeta plano" é uma proposição logicamente verdadeira.
Opostamente, se ao construirmos uma tabela
verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela é sempre falsa,
diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.
Ex.: A proposição composta t: p Ù
~p é uma contradição, senão vejamos:
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